Kapitel 8
Aufbruch in neue Welten

1  Supersymmetrie, Stringtheorie und andere Ausblicke

Das Standardmodell beschreibt als relativistische Quantenfeldtheorie erfolgreich die starke, schwache und elektromagnetische Wechselwirkung der 6 Quarks und 6 Leptonen. Dennoch kann das Standardmodell nicht die gesuchte fundamentale Theorie der Naturgesetze sein, denn es enthält eine ganze Reihe freier Parametern und umfasst keine Quantentheorie der Gravitation.

Es gibt viele Ansätze für umfassendere Theorien, die über das Standardmodell hinausgehen. Dabei kristallisieren sich zwei wesentliche Grundelemente heraus, ohne die man nur schwer auszukommen scheint: Dualität und Supersymmetrie.

Dualität bedeutet, mehrere gleichwertige Formulierungen für eine einzige Quantenfeldtheorie zu haben. Eine dieser Formulierungen (die Störungsrechnung) besteht typischerweise in einer Reihenentwicklung in Potenzen einer Ladung oder Kopplungskonstante - nennen wir sie hier g. Die Formulierungen mit Hilfe von Feynmangraphen ist gerade eine solche Reihenentwicklungen. Nur wenn g deutlich kleiner als 1 ist, kann diese Formulierung funktionieren.

Es wäre nun schön, wenn man in Bereichen, in denen g groß ist, eine Reihenentwicklung in Potenzen von 1/g (statt g) finden könnte, denn eine solche Reihenentwicklung würde gerade für große Werte von g zu brauchbaren Resultaten führen. Diese zweite Reihenentwicklung wäre in dem Sinn dual zu der Reihenentwicklung in g, dass sie gerade dort anwendbar ist, wo die andere Reihenentwicklung versagt.

Man kann die Idee dieser Dualität am Beispiel der geometrischen Reihe verdeutlichen. Betrachten wir die unendliche Summe

R1   =   1 + q + q2 + q3 + ¼

Diese Reihe ergibt dann ein sinnvolles Resultat, wenn der Betrag von q kleiner als 1 ist. In diesem Fall kann man die einfache Formel

R1   =   1 1-q

für den Wert der Reihe aufstellen. Wir haben diese Formel bereits kennengelernt. Betrachten wir nun die Reihe

R2   =   - 1 q    æ ç è 1 + 1 q + 1 q2 + 1 q3 + ¼ ö ÷ ø

Bis auf den Vorfaktor   − 1/q   haben wir hier ebenfalls eine geometrische Reihe vor uns, diesmal aber mit Potenzen von 1/q statt q. Wenn der Betrag von 1/q kleiner als 1 ist (d.h. wenn der Betrag von q größer als 1 ist), ergibt demnach auch diese Reihe einen endlichen Wert, nämlich

R2   =   - 1 q    1 1- 1 q   =   1 1-q

Überraschenderweise wird der Wert der Reihe R₂ durch die gleiche Formel angegeben wie der Wert für die Reihe R₁. Wir können den Spieß nun umdrehen und von der Formel

R = 1 1-q

ausgehen. Diese Formel repräsentiert nun unsere Quantenfeldtheorie in nicht-störungstheoretischer Form. Leider kennen wir aber in Quantenfeldtheorien normalerweise nur die Reihenentwicklungen der Störungstheorie. Wenn wir aber die zwei zueinander dualen Reihenentwicklungen R₁ und R₂ kennen, von denen die eine gerade dort anwendbar ist, wo die andere versagt, so haben wir die Theorie überall (außer bei   q = ±1   ) unter quantitativer Kontrolle und benötigen die universelle Formel   R = 1/(1-q)   nicht mehr.

Die blaue Kurve   R = 1/(1-q)   stehe hier stellvertretend für die exakte Lösung einer Quantenfeldtheorie. Im Bereich kleiner Beträge von q kann sie gut durch die Reihenentwicklung   R₁ = 1 + q + q² + q³ + ¼   approximiert werden. Die Summe der ersten drei Terme dieser Reihe ist als rote Kurve dargestellt. Die zu   R₁ duale Reihe R₂ = (-1/q) (1 + 1/q + 1/q² + ¼)   ist dagegen im Bereich großer Beträge von q als Näherung geeignet. Die Summe der ersten drei Terme dieser Reihe ist als grüne Kurve dargestellt.

Kommen wir nun zum zweiten wesentlichen Element, der Supersymmetrie. Sie geht davon aus, dass es eine Symmetrie zwischen Fermionen und Bosonen gibt, also zwischen Teilchen mit halbzahligem und ganzzahligem Spin. Entsprechend folgt daraus, dass zu jedem Fermion ein supersymmetrisches Partner-Boson existieren muss und umgekehrt. Hier sind einige potentielle supersymmetrische Partnerteilchen (SUSY-Teilchen) aufgelistet:

• mathematische Eleganz
• Abschwächung der Divergenzen in Feynmangraphen
• wichtiger Baustein bei der Formulierung von Stringtheorien
• die gleitende Ladungen der starken, schwachen und elektromagnetischen Wechselwirkung nehmen bei 10¹⁶ GeV (also etwa einem Tausendstel der Planck-Energie) alle drei den gleichen Wert von etwa Ö[(1/26)] (angegeben in natürlichen Einheiten) an (Hinweis auf eine Vereinigung der drei Wechselwirkungen).

Die Supersymmetrie muss spontan gebrochen sein, denn sonst hätten die SUSY-Teilchen dieselben Massen wie die bisher bekannten Teilchen. Die SUSY-Teilchen müssen aber sehr viel schwerer sein als die gewöhnlichen Teilchen, denn sonst hätte man sie längst entdeckt.

SUSY-Teilchen können immer nur in Paaren erzeugt und vernichtet werden. Die Folge davon ist, dass das leichteste SUSY-Teilchen stabil sein muss. Dieses leichteste SUSY-Teilchen könnte einen wesentlichen Bestandteil der dunklen Materie im Universum bilden. Man hofft, am neuen LHC-Beschleuniger neben dem Higgs-Teilchen auch solche SUSY-Teilchen zu finden.

Es gibt einen besonders interessanten Ansatz für eine fundamentalere physikalische Theorie, die über das Standardmodell hinausgeht und die sowohl Supersymmetrie als auch Dualitäten umfasst: die sogenannte M-Theorie, die die fünf bekannten Stringtheorien zusammenfasst. Diese Stringtheorien benötigen eine zehndimensionale Raumzeit, um konsistente Quantentheorien zu liefern. Sechs der neun Raumdimensionen müssen dabei vermutlich sehr klein zusammengerollt sein, so dass sie bisher nicht auffallen:

Rollt man ein zweidimensionales Blatt Papier zu einem immer dünneren Zylinder ein, so erscheint der Zylinder aus der Ferne betrachtet schließlich wie ein eindimensionaler Faden. Man sagt, eine der beiden Dimensionen wurde eingerollt.

Falls manche dieser Dimensionen nicht zu eng aufgerollt sind, sondern einen Einrollradius im Bereich Millimeter-Bruchteilen aufweisen, so könnte es instabile schwarze Mikrolöcher mit einer Masse deutlich unterhalb der Planckmasse geben (Werte oberhalb von 0,1 mm wurden bereits experimentell ausgeschlossen). Am Large Hadron Collider sucht man nach solchen schwarzen Mikrolöchern -- wenn man sie findet, wäre das ein Beweis für solche relativ großen Extra-Raumdimensionen. Mehr dazu im Buchkapitel und unten im Zusatzmaterial.

Die elementaren Objekte in der zehndimensionalen Raumzeit der Stringtheorie sind schwingende Strings (Fäden) mit einer Raumdimensionen, analog zu einem kleinen Faden.

• Edward Witten (geboren am 26ten August 1951) gilt als einer der bedeutendsten theoretischen Physiker und Mathematiker unserer Zeit. Im Jahr 1990 erhielt er die Fields-Medaille, die den Stellenwert eines Nobelpreises in der Mathematik besitzt. Eine seiner bedeutendsten Leistungen ist die sogenannte zweite Revolution in der Stringtheorie -- diese Theorie wird als möglicher Kandidat für eine grundlegende Theorie der gesamten Physik (Weltformel oder Theory of everything) gehandelt. Wittens Überlegungen legen nahe, dass die Quantentheorien der fünf verschiedenen klassischen Stringtheorien sowie der sogenannten Supergravitation alle nur verschiedene Grenzfälle einer einzigen grundlegenden Quanten-Stringtheorie sind, die als M-Theorie bezeichnet wird.
  Quelle: Wikimedia Commons File:Edward Witten.jpg, dort Public Domain. Beschreibung: Edward Witten giving a speech at Chalmers tekniska högskola, Göteborg, Sweden, April 2008.

Was weiß man über die M-Theorie? Man weiß, dass sie eine Raumdimension mehr als die Stringtheorien benötigt, also zehn Raum- und eine Zeitdimension. Dies ist notwendig, da eine weitere Theorie (die sogenannte Super-Gravitation) als Grenzfall der M-Theorie auftreten muss. Weiter weiß man, dass die M-Theorie nicht nur Strings mit einer Raumdimension beinhaltet, sondern auch zwei-, drei- und höherdimensionale Objekte (Branen). Es ist jedoch bis heute nicht gelungen, die M-Theorie mathematisch vollständig zu formulieren. Mehr zur M-Theorie und ihrer Verbindung zu Stringtheorie und Supergravitation im Buchkapitel.

Zusatzinformationen:

Weitere Informationen zur Supersymmetrie findet man in Die Symmetrie der Naturgesetze, Kapitel 6.1: Supersymmetrie.

Weitere Informationen zur Stringtheorie findet man in Die Symmetrie der Naturgesetze, Kapitel 6.2: Stringtheorie.

Schwarze Mikro-Löcher und zusätzliche Raumdimensionen:

Die Gravitationskraft nimmt im dreidimensionalen Raum quadratisch mit zunehmendem Abstand r ab. Man kann sich dies als Ausdünnung der Kraftfeldlinien vorstellen: Die radial von der gravitativen Masse ausgehenden Kraftfeldlinien durchstoßen im Abstand r eine gedachte Kugeloberfläche der Größe 4πr², wobei wir uns vorstellen, dass sich ihre Durchstoßpunkte gleichmäßig darauf verteilen. Die Dichte der Durchstoßpunkte soll die Stärke der Kraft in diesem Abstand bestimmen. Vergrößert man den Abstand, so vergrößert sich quadratisch dazu die Kugeloberfläche und die Dichte der Durchstoßpunkte nimmt entsprechend quadratisch mit zunehmendem Abstand r ab.

Hätte der Raum nur zwei Dimensionen, so würden sich die Kraftfeldlinien nur auf einer zweidimensionalen Fläche ausbreiten und sie würden im Abstand r keine Kugeloberfläche, sondern einen Kreis durchstoßen. Entsprechend nähme ihre Dichte nur mit 1/r ab, d.h. die Gravitationskraft würde nur proportional mit 1/r abnehmen. Im dreidimensionalen Raum entspräche das der Gravitationskraft eines unendlich langen geraden massiven Drahtes.

Man kann sich nun folgende interessante Situation vorstellen: Nehmen wir an, der dreidimensionale Raum wäre von zwei parallelen Ebenen begrenzt, die den Abstand 2R voneinander haben, und nehmen wir an, dass sich die Kraftfeldlinien der Gravitation nur in diesem Raum zwischen den beiden Ebenen ausbreiten können. Mitten zwischen die beiden Ebenen setzen wir nun eine punktförmige Masse m₁. Bei Abständen deutlich kleiner als dem Plattenabstand R merken die Feldlinien noch nichts von den Platten und breiten sich radial nach allen Seiten aus. Wenn wir die Zahl der Feldlinien gleich der felderzeugenden Masse m₁ (in passender Einheit) setzen, so ist ihre Flächendichte ρ im Abstand r in diesem Bereich gegeben durch   ρ = m₁ / (4πr²) .

Schauen wir uns nun Abstände r an, die viel größer als der Plattenabstand 2R sind. Nun merken die Feldlinien die Begrenzung durch die beiden Platten und laufen parallel zu den Platten radial von der Masse weg, so als ob die sich nur noch in zwei Raumdimensionen bewegen könnten. Dabei durchstoßen sie einen Zylindermantel mit Fläche   2πr 2R = 4πr R   . Da sich ihre Anzahl m₁ nicht geändert hat, muss ihre Flächendichte dort durch   ρ = m₁ / (4πr R)   gegeben sein. Im Vergleich zu kleineren Abständen ist im Term   r²   gleichsam ein r-Faktor bei r=R eingefroren worden.

In diesem Beispiel ist der dreidimensionale Raum vertikal begrenzt. Die Gravitations-Feldlinien können sich in der Nähe der erzeugenden Masse noch frei in alle drei Raumdimensionen ausbreiten, werden aber bei größeren Abständen in die horizontale Ebene gezwungen und können sich nur noch in den unbegrenzten zwei Raumdimensionen weiter ausbreiten.

Man kann daraus das Kraftgesetz bei kleinen und großen Abständen (im Vergleich zu R) ableiten: Bei Abständen, die klein gegenüber dem Plattenabstand R sind, gilt das normale Gravitationsgesetz:

  F   =   G m₁ m₂ / r²   =   G m₂ 4πρ

Auch bei großen Abständen (im Vergleich zu R) soll die Gravitationskraft durch die Flächendichte ρ der Kraftfeldlinien gegeben sein, also   F = G m₂ 4πρ   gelten. Damit erhalten wir dort

  F   =   G m₁ m₂ / (r R)

Wir können nun erraten, was mit dem Gravitationsgesetz allgemein geschieht, wenn Raumdimensionen begrenzt werden: Pro begrenzter Raumdimension wird ein r auf den Begrenzungswert R eingefroren, sobald man in den nicht-begrenzten Dimensionen Abstände deutlich oberhalb dieses Begrenzungswertes betrachtet. Dabei ist es egal, ob die Begrenzung durch zwei Platten oder durch Einrollen geschieht.

Wir hatten in Kapitel 7.2 (Zusatzinformationen) das Gravitationsgesetz in drei Raumdimensionen mit Hilfe der Planckmasse m_p folgendermaßen umgeschrieben:

  F   =   (m₁ m₂ / m_p²)   h_qc / r²

Nehmen wir nun an, wir hätten es mit n Zusatzdimensionen zu tun. Das Gravitationsgesetz in 3+n Raumdimensionen können wir dann schreiben als

  F_n   =   (m₁ m₂ / m_p,n²)   h_qc / r²   (l_p,n / r)ⁿ

so dass die Gravitationskraft mit 1/r²⁺ⁿ abnimmt, entsprechend der nun größeren Verdünnung der Feldlinien. Die Stärke der Gravitation in diesen 3+n Raumdimensionen wird dabei durch eine neue Planckmasse   m_p,n   und die daraus berechnete Plancklänge   l_p,n   parametrisiert (sie enthalten die entsprechende Gravitationskonstante). Diese beiden Parameter wollen wir nun dadurch festlegen, dass wir die n neuen Raumdimensionen auf Abstände bis R begrenzen (z.B. einrollen) und in den drei übrigen unbegrenzten Raumdimensionen fordern, dass sich bei Abständen deutlich größer als R das normale Gravitationsgesetz mit der bekannten Stärke ergibt. Bei diesen Abständen müssen wir analog zu oben n mal den Abstand r durch R ersetzen, ihn also einfrieren. Es soll also bei großen r gelten:

  F_n   =   (m₁ m₂ / m_p,n²)   h_qc / r²   (l_p,n / R)ⁿ   =   F   =   (m₁ m₂ / m_p²)   h_qc / r²

so dass sich

  m_p²   =   m_p,n²   (R / l_p,n)ⁿ   =   m_p,n²   (R m_p,n c / h_q)ⁿ   =   m_p,n²⁺ⁿ   (R c / h_q)ⁿ

ergibt. Freigestellt nach dem Radius haben wir

  R   =   h_q/c   [ m_p² / m_p,n²⁺ⁿ ]^1/n   =   h_qc   (m_p / m_p,n)^2/n   1/(m_p,nc²)

Wenn wir am Large Hadron Collider (LHC) bereits schwarze Mikrolöcher erzeugen wollen, so müssen wir über die neue Planck-Masse   m_p,n   kommen, denn nur dann wird der entsprechende Schwarzschildradius größer als die quantenmechanische Ortsunschärfe   l_p,n   (siehe Kapitel 7.2; genau genommen müssten wir dazu noch den Schwarzschildradius für den Fall verborgener Zusatzdimensionen berechnen -- das Ergebnis lautet   r_sⁿ⁺¹   =   2/(n+1) l_p,nⁿ⁺¹ m/m_p,n   , was bei n=0 unser bekanntes Ergebnis reproduziert; es stellt sich damit heraus, dass ein Schwarzes Loch mit m = m_p,n ungefähr einen Schwarzschildradius der Größe l_p,n besitzt, siehe z.B. Sabine Hossenfelder: What Black Holes Can Teach Us, Kap. 5, arXiv.org > hep-ph > arXiv:hep-ph/0412265). Am LHC können wir bis zu 2 mal 7 TeV erreichen -- wir setzen daher für die neue Planck-Masse versuchsweise 1 TeV ein. Die übliche Planckmasse m_p hat ungefähr den Wert   10¹⁶ TeV   , so dass wir

  R   =   h_qc   (10¹⁶)^2/n   1/(1 TeV)   =   2 * 10^{− 4} fm   10^32/n

haben. Für 1, 2, 3, oder 4 zusätzliche Raumdimensionen müsste die Begrenzung (Einrollradius) R dieser Dimensionen folgende Werte haben (sofern ich mich nicht verrechnet habe ... ):

• n = 1 :   R = 2 * 10¹⁶ mm     , experimentell ausgeschlossen
• n = 2 :   R = 2 mm     , experimentell fast ausgeschlossen
• n = 3 :   R = 10^{− 5} mm     , möglich
• n = 4 :   R = 0,2 A     , möglich

(sollte ich mich hier verrechnet haben, wäre ich für eine Email sehr dankbar). Falls tatsächlich Extra-Raumdimensionen mit Einrollradien R deutlich oberhalb der gewohnten Planck-Länge l_p existieren, so dürfen übrigens die anderen Wechselwirkungen davon nichts merken, sonst wäre das bereits aufgefallen. Sie bleiben auf 3 Raumdimensionen beschränkt. Nur die Gravitation bemerkt die relativ großen Extra-Dimensionen. Daher kann sie bei Abständen unterhalb von R deutlich stärker sein als wir es im dreidimensionalen Raum bemerken, denn erst ihre Verdünnung aufgrund der großen Extra-Dimensionen lässt sie dann im dreidimensionalen Raum bei Abständen oberhalb von R so schwach erscheinen, verglichen mit den anderen Wechselwirkungen. Entsprechend klein darf die neue Planckmasse m_p,n sein.

Literatur:

• Brian Greene: Das elegante Universum - Dieses Buch stellt den Werdegang der Stringtheorie und die neuesten Entwicklungen bis zur M-Theorie in sehr unterhaltsamer und zugleich kompetenter Weise dar. Wer sich für die M-Theorie interessiert und ein gut lesbares populärwissenschaftliches Buch dazu sucht: dieses wäre die erste Wahl! Im Internet gibt es dazu unter http://www.pbs.org/wgbh/nova/elegant/ und http://www.pbs.org/wgbh/nova/elegant/program.html die Videoreihe Watch The Elegant Universe (3 hours).

• Brian Greene: Der Stoff, aus dem der Kosmos ist -- Nachfolger zum eleganten Universum mit dem Schwerpunkt auf der Natur von Raum und Zeit und der Entwicklung des Kosmos.

• Lisa Randall: Verborgene Universen, Fischer Taschenbuch 2008 -- gibt einen guten Überblick über Stringtheorie, Supersymmetrie sowie mögliche zusätzliche Raumdimensionen und ihre potentielle Entdeckung am LHC oder dessen Nachfolgern.

• Welt der Physik: Die Gravitationskraft in einer Welt mit Extra-Dimensionen, http://www.weltderphysik.de/de/4907.php sowie Schwarze Löcher am LHC?, http://www.weltderphysik.de/de/4717.php.

• Wikipedia: Micro Black Hole

• Nima Arkani-Hamed, Savas Dimopoulos, Gia Dvali: The Hierarchy Problem and New Dimensions at a Millimeter, arXiv.org > hep-ph > arXiv:hep-ph/9803315 -- hier wird die Idee großer Extra-Raumdimensionen und enstprechender schwarzer Mikrolöcher im Detail untersucht.