Kapitel 1
Atome, Bausteine der Materie

4  Kräfte und Wechselwirkungen

Zusammenfassung des Buchkapitels:

Wenn wir Materie verstehen wollen, so müssen wir uns sowohl mit den elementaren Teilchen als auch auch mit den Wechselwirkungen zwischen ihnen befassen. Newton formulierte dazu seine zwei berühmten Bewegungsgesetze (eigentlich waren es historisch drei Bewegungsgesetze -- mehr dazu siehe unten in den Zusatzinfos):


 


Man kennt heute vier grundlegende Wechselwirkungen (Kräfte) zwischen den Bausteinen der Materie:


Gravitation (Schwerkraft):

Die anziehende Schwerkraft F zwischen zwei kleinen Körpern der Masse m1 und m2 im Abstand r voneinander wird recht genau durch Newtons Gravitationsgesetz beschrieben:

  F   =   G m1 m2 / r2

Die Gravitationskonstante   G = 6,674 ·10-11 m3/(kg s2)   braucht man, da man schwere und träge Masse gleichsetzt (mehr dazu im Buch).



Auf einen Satelliten, der sich in etwa 6400 Kilometer Höhe über dem Erdboden befindet, wirkt nur noch ein Viertel der Schwerkraft, die am Erdboden auf ihn gewirkt hat, da er sich nun doppelt soweit vom Erdmittelpunkt weg befindet (der Erdradius beträgt etwa 6400 Kilometer).


elektromagnetische Wechselwirkung:

Sie beschreibt die elektrischen und magnetischen Kräfte zwischen elektrischen Ladungen. Das Kraftgesetz zwischen zwei ruhenden elektrischen Ladungen q1 und q2 sieht vollkommen analog zu Newtons Gravitationsgesetz aus:

  F   =   k q1 q2 / r2

mit dem Proportionalitätsfaktor   k = 9 · 109 Nm2/C2   , den man im SI-Einheitensystem aufgrund der Ladungsdefinition über die Stromstärke braucht (Details im Buch). Oft schreibt man auch   k = 1/(4πε0)   mit der elektrischen Feldkonstanten   ε0 = 0,854 10-11 C2/(N m2)   . Es gilt exakt:
k = æ
ç
è
10-7 Nm2
C2
ö
÷
ø
  æ
ç
è
s
m
ö
÷
ø
2

 
 c2
mit der Lichtgeschwindigkeit c = 299 792 458 m/s . Mehr dazu in den Zusatzinfos unten.

Im Unterschied zur Gravitation, die immer anziehend zwischen zwei Körpern wirkt, gibt es sowohl anziehende als auch abstoßende elektrische Kräfte und entsprechend positive und negative elektrische Ladungen. Die elektrische Kraft zwischen geladenen Teilchen ist dabei sehr viel stärker als die Schwerkraft zwischen ihnen.

Bei bewegten elektrischen Ladungen kommen Magnetfelder hinzu. Die genauen Zusammenhänge werden durch die Maxwellgleichungen beschrieben. Letztlich haben Magnetfelder ihre Ursache in der speziellen Relativitätstheorie Einsteins, aus der sich auch die obige Formel zwischen k und der Lichtgeschwindigkeit c ergibt (siehe Zusatzinfos unten). Der Zusammenhang zwischen elektrischen und magnetischen Kräften führt also auf eine universelle Naturkonstante: die Lichtgeschwindigkeit c.



James Clerk Maxwell (1831 - 1879),
Quelle: Wikimedia Commons File:James Clerk Maxwell big.jpg, dort gemeinfrei

In Kurzform lauten die Maxwellgleichungen (zur Veranschaulichung siehe unten die Zusatzinfos):

  1. Definition des elektrischen und des magnetischen Feldes:
    Das elektrische Feld E und magnetische Feld B wird durch seine Kraftwirkung F auf eine punktförmige elektrische Probeladungen Q definiert, die sich mit der Geschwindigkeit v bewegt:   F = Q E + Q (v × B)  . Den zweiten Term nennt man Lorentzkraft.

  2. Coulombsches Kraftgesetz:
    Eine punktförmige Ladung q erzeugt ein radiales elektrisches Feld   E = k q / r2

  3. Gaußsches Gesetz des Magnetismus:
    Es gibt keine magnetischen Ladungen (Monopole).

  4. Faradaysches Induktionsgesetz:
    Ein sich verstärkendes oder abschwächendes Magnetfeld erzeugt ein elektrisches Wirbelfeld, dessen Richtung senkrecht zum Magnetfeld orientiert ist. Je schneller die zeitliche Veränderung des Magnetfeldes ist, umso stärker ist das dadurch erzeugte elektrische Feld.

  5. Ampèresches Gesetz:
    Ein stromdurchflossener Leiter erzeugt ein magnetisches Feld, das den Leiter ringförmig umschließt und dessen Stärke proportional zur Stromstärke ist. Ebenso erzeugt ein sich verstärkendes oder abschwächendes elektrisches Feld ein Magnet-Wirbelfeld, dessen Richtung senkrecht zum elektrischen Feld orientiert ist. Je schneller die zeitliche Veränderung des elektrischen Feldes ist, umso stärker ist das dadurch erzeugte Magnetfeld.

Elektrische und magnetische Felder lassen sich überlagern, ohne sich zu stören (Superpositionsprinzip):



Das Superpositionsprinzip für elektrische Kräfte besagt u.a.: Die Gesamtkraft, die zwei Ladungen auf eine Probeladung ausüben, ist gleich der Summe der Kraftpfeile, die von den einzelnen Ladungen herrühren.


Erst bei der Betrachtung der Atomkerne und ihrer Zerfälle werden wir später auf die schwache und die starke Wechselwirkung stoßen.



Zusatzinformationen:

"As for the forces, electromagnetism and gravity we experience in everyday life. But the weak and strong forces are beyond our ordinary experience. So in physics, lots of the basic building blocks take 20th- or perhaps 21st-century equipment to explore."
(Zitat von Edward Witten, siehe Internet)

"From a long view of the history of mankind — seen from, say, ten thousand years from now, there can be little doubt that the most significant event of the 19th century will be judged as Maxwell's discovery of the laws of electrodynamics. The American Civil War will pale into provincial insignificance in comparison with this important scientific event of the same decade."
(Richard Feynman in The Feynman Lectures on Physics, Volume II, 1-6 end)


a) Newtons Grundgesetze der Mechanik
b) Der Zusammenhang zwischen k und c
c) Die Maxwellgleichungen
d) Der relativistische Ursprung des Magnetfeldes
e) relativistische Formulierung der Maxwellgleichungen



a) Newtons Grundgesetze der Mechanik

Historisch hat Newton nicht zwei, sondern drei Bewegungsgesetze formuliert, siehe z.B. Wikipedia: Newtonsche Gesetze. Das erste Bewegungsgesetz (das Trägheitsprinzip) ist jedoch ein Spezialfall seines zweiten Bewegungsgesetzes (Kraft = Masse × Beschleunigung), so dass ich es im Buchtext nicht separat aufgeführt habe.

Wie kommt man auf Newtons Bewegungsgesetze, und was bedeuten sie physikalisch? Mehr dazu findet man in Die Symmetrie der Naturgesetze, Kapitel 2.1: Einige Gedanken zu den Begriffen Bahnkurve, Kraft und Masse. Auch einiges zum Impuls-Begriff steht dort und im Folgekapitel 2.2.

Häufig formuliert man das Bewegungsgesetz   F = m · a   auch in der allgemeineren Form

  F = dp/dt

d.h. die Kraft F ist gleich der zeitlichen Änderung des Impulses p des Objektes, auf das die Kraft wirkt. Anschaulich ist der Impuls daher ein gespeicherter Kraftstoß, also gleichsam der Schwung eines Objektes. Ohne eine wirkende Kraft ist der Impuls zeitlich konstant.
Bei kleinen Geschwindigkeiten (relativ zur Lichtgeschwindigkeit c) ist der Impuls eines Objektes der Masse m und Geschwindigkeit v gegeben durch   p = m v   , was dann zu   F = m · a   führt.
Die Formel   F = dp/dt   ist aber auch für schnelle Teilchen korrekt, wobei dann der relativistische Teilchenimpuls   p = m γ v   verwendet werden muss mit   γ = 1 / √( 1 − (v/c)2 )   (mehr dazu siehe Kapitel 3.2).

Eine physikalische Bedeutung erhält dieses Bewegungsgesetz erst, wenn man noch irgendeine Zusatzinformation über die Kraft hat, aus der man diese berechnen kann, beispielsweise über Newtons Gravitationsgesetz. Wenn man   F = m · a   nur als Definition der Kraft versteht, gewinnt man nicht viel, denn dann hat man nur einen neuen Begriff für das Produkt aus Masse mal Beschleunigung eingeführt. Man muss weitere Informationen unabhängig von diesem Gesetz über die wirkende Kraft besitzen, und diese Informationen müssen in gewissem Sinn einfach sein. Ein Beispiel für diese Einfachheit wäre die Beobachtung, dass Kräfte einen materiellen Ursprung haben. Wenn weit und breit kein anderer Körper vorhanden ist, so sollte auch keine Kraft wirken.

Richard Feynman hat in seinen Feynman Vorlesungen über Physik, Band 1: Mechanik, Strahlung, Wärme (Kapitel 12-1) zur Verdeutlichung dieses Gedankens scherzhaft den Begriff Schmaft eingeführt: Ein Objekt bewegt sich nur, wenn eine Schmaft auf es einwirkt -- ansonsten ruht es bewegungslos. Auch das ist eine Definition, ähnlich der Definition der Kraft (ein Objekt beschleunigt nur, wenn eine Kraft auf es einwirkt -- ansonsten bewegt es sich mit konstanter Geschwindigkeit). Aber anders als die Kraft wäre diese Schmaft nicht einfach. So beobachten wir im leeren Weltall fernab von anderen Objekten, dass eine antriebslose Raumkapsel sich geradlinig-gleichförmig bewegt, ohne zum Stillstand zu kommen. Natürlich könnten wir sagen, dass dann eine Schmaft auf das Raumschiff wirken muss, aber diese Aussage wäre vollkommen bedeutungslos und würde uns bei der Beschreibung der Welt nicht weiterhelfen. Das ist vollkommen anders, wenn wir   F = m · a   haben und beispielsweise die Gravitationskraft über Newtons Gravitationsgesetz berechnen -- schon können wir die Planetenbahnen im Schwerefeld der Sonne berechnen und uns ansehen, ob sich die Planeten tatsächlich so bewegen. Und im leeren Weltall fernab von anderen Objekten wirkt dann eben keine relevante Kraft, so dass sich die Raumkapsel auch geradlinig-gleichförmig bewegt. Eine Schmaft brauchen wir dann nicht mehr, um das zu erklären.

Actio gleich Reactio:

Das Gesetz Actio gleich Reactio besagt, dass in einem abgeschlossenen System aus mehreren Objekten, auf das keine äußere Kraft wirkt, die Summe aller inneren Kräfte gleich Null ist. Die inneren Kräfte können also zwar zu inneren Impulsflüssen zwischen den Objekten führen, nicht aber den Gesamtimpuls des Systems ändern. Das ist der Impulserhaltungssatz. Übrigens ist es manchmal nützlich, sich auch bei einem statischen System die insgesamt ausgeglichenen inneren Kräfte (Spannungen) als Impulsflüsse vorzustellen, die sich gegenseitig neutralisieren. Diese Impulsflüsse werden spätestens dann wichtig, wenn man zur Relativitätstheorie übergeht.

Wenn man ganz genau hinschaut, so scheint das Gesetz Actio gleich Reactio und damit die Impulserhaltung manchmal für kurze Zeiten verletzt zu sein, denn nach der speziellen Relativitätstheorie dauert es immer eine kurze Zeit, bis ein Objekt auf ein anderes Objekt eine Kraft ausüben kann (denn nichts kann sich schneller als das Licht bewegen, auch keine Kraftwirkung). Der zwischen den Objekten übertragene Impuls scheint für kurze Zeit verborgen zu sein. Im Fall elektromagnetischer Kräfte steckt dieser Impuls im elektromagnetischen Feld, das die Kräfte überträgt, d.h. auch elektromagnetische Felder haben Impuls (und Energie). Sobald wir später elektromagnetische Felder durch Photonen beschreiben, werden wir sagen können: auch Photonen besitzen Impuls! Sobald wir diese Impulse mit berücksichtigen, ist mit der Impulserhaltung wieder alles in Ordnung.



b) Der Zusammenhang zwischen k und c

Der oben und im Buchkapitel dargestellte Zusammenhang zwischen k und c ergibt sich so:

Die Stromeinheit Ampere ist im SI-Einheitensystem über die Anziehungskraft zwischen zwei parallelen stromführenden Drähten definiert (siehe Wikipedia: Ampere sowie weiter unten unter dem Punkt Ampèresches Gesetz). Diese Anziehungskraft entsteht durch das Magnetfeld, das durch die Ströme erzeugt wird. Die Definition des Amperes kann man daher in eine Definition der magnetischen Feldkonstanten μ0 übersetzen, d.h. es gilt exakt

μ0   =   4π · 10− 7 N/A2

Aus den Maxwellgleichungen lässt sich eine Wellengleichung für elektromagnetische Wellen herleiten. Das geht so: Nach dem Faradayschen Induktionsgesetz (siehe unten) erzeugt ein sich veränderndes Magnetfeld ein elektrisches Wirbelfeld:   rot E   =   − dB/dt   . Nach dem Ampèreschen Gesetz (siehe unten) erzeugt im stromfreien Raum umgekehrt ein sich veränderndes elektrisches Feld ein magnetisches Wirbelfeld:   rot B   =   μ0 ε0 dE/dt   . Wendet man auf die erste Gleichung erneut den Rotationsoperator an, so ergibt sich mithilfe der zweiten Gleichung

  rot (rot E)   =   − d(rot B)/dt   =   − d(μ0 ε0 dE/dt)/dt   =   − μ0 ε0 (d/dt)2 E

Zugleich ist   rot (rot E)   =   grad (div E)   −   (d/dx)2 E   und im ladungsfreien Raum gilt zusätzlich   div E = 0   , so dass nur der zweite Term stehen bleibt. Damit erhalten wir die Wellengleichung

  (d/dx)2 E   =   μ0 ε0 (d/dt)2 E  

Eine analoge Gleichung lässt sich für B herleiten. Man kann sich nun überlegen, dass Wellen (z.B. Sinuswellen) mit einer Geschwindigkeit von   c   =   1 / √(ε0 μ0)   diese Gleichung lösen. Wir wollen das am Beispiel einer in x-Richtung laufenden ebenen Sinuswelle überprüfen, für die wir den Ansatz
  E   =   E0 sin (2π x/λ − 2πf t)  
machen, wobei wir das Argument des Sinus (die Phase φ) im Bogenmaß angeben -- daher der Faktor 2π. Anschaulich ist damit λ die räumliche Wellenlänge und f die zeitliche Frequenz. Eine konstante Wellenhöhe (z.B. ein Wellenberg) entspricht nun einem konstanten Wert für die Phase, und die Stellen konstanter Phase φ0 wandern mit der Zeit t nach der Formel   2π x/λ − 2πf t   =   φ0   entlang der x-Achse. Aufgelöst nach x ergibt das die Gleichung   x   =   λ f t   +   λ φ0/(2π)   , d.h. die Welle bewegt sich mit der Geschwindigkeit   c = λ f   . Wenn wir nun den obigen Ansatz in die Wellengleichung einsetzen, so ergibt das   (2π/λ)2   =   μ0 ε0 (2πf)2   und somit   (λ f)2   =   1 / (μ0 ε0)   . Da   λ f   gleich der Wellengeschwindigkeit c ist, haben wir damit unser Ergebnis   c2   =   1 / (ε0 μ0)   abgeleitet.

Alle elektromagnetischen Wellen (also auch Licht) haben nach der obigen Wellengleichung dieselbe Geschwindigkeit c, die mit der elektrischen und magnetischen Feldkonstanten so zusammenhängt (siehe auch Wikipedia: Elektrische Feldkonstante):

c2   =   1 / (ε0 μ0)

Daraus ergibt sich für k der exakte Wert

  k   =   1/(4πε0)   =   μ0 c2 / (4π)   =   10− 7 (N/A2) c2   =   10− 7 (N s2/C2) c2   =   10− 7 (N m2/C2) (s2/m2) c2

Zwei Ladungen von je einem Coulomb im Abstand von einem Meter üben also aufeinander exakt die Kraft von   10− 7 · 2997924582 N   aus. Das sind ziemlich genau 9 Milliarden Newton, also die Gewichtskraft von knapp 1 Millionen Tonnen. Setzt man in guter Näherung die Lichtgeschwindigkeit gleich   3 · 108 m/s   , so ergibt sich der oben genannte Wert von   k = 9 · 109 Nm2/C2   .



c) Die Maxwellgleichungen

Die genaue mathematische Form der Maxwellgleichungen findet man auch in Die Grenzen der Berechenbarkeit, Kapitel 4: Die kanonische Quantisierung des freien elektromagnetischen Feldes, Abschnitt 4.1: Die Maxwellgleichungen, wobei dort allerdings keine SI-Einheiten verwendet werden. Wir verwenden im folgenden analog zum Buch SI-Einheiten (mehr zu anderen Einheitensystemen siehe weiter unten):

  1. Definition des elektrischen und des magnetischen Feldes:

    Elektrisches und magnetisches Feld werden definiert, um den Begriff der Fernwirkung von räumlich entfernten Ladungen aufeinander zu umgehen und durch eine lokale Beschreibung zu ersetzen. Man beschreibt also nicht direkt die Kräfte, die Ladungen aufeinander ausüben, sondern Ladungen erzeugen zunächst elektromagnetische Felder, und die lokale Stärke dieser Felder an einem Ort x bestimmt anschließend, welche Kraft auf eine an diesem Ort befindliche Ladung wirkt. Damit lässt sich die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Kräfte viel leichter beschreiben als ohne den Feldbegriff.




  2. Coulombsches Kraftgesetz:



  3. Gaußsches Gesetz des Magnetismus:



  4. Faradaysches Induktionsgesetz:



  5. Ampèresches Gesetz:



Eine super-animierte Grafik des elektromagnetischen Feldes, das eine Dipol-Antenne abstrahlt, findet man unter Wikimedia Commons File:DipoleRadiation.gif. So sieht es aus, wenn man den Maxwellgleichungen Leben einhaucht! Sich ändernde elektrische und magnetische Felder können sich von ihrer Quelle ablösen und sich aufgrund der Maxwellgleichungen oben gegenseitig am Leben erhalten. Das ist das Geheimnis der elektromagnetischen Wellen.


zu den Maßeinheiten:

Bisher haben wir die Maxwellgleichungen im SI-Einheitensystem angegeben, bei der zunächst die magnetische Feldkonstante μ0 festgelegt und damit die Stromeinheit Ampere über die magnetischen Kräfte definiert wird. Über die Stromeinheit ist dann automatisch eine Ladungseinheit definiert (nämlich die pro Zeit transportierte Ladung), in diesem Fall das Coulomb:   1 Coulomb = 1 Ampere × 1 Sekunde   . Die elektrische Feldkonstante ε0 ist dann über die elektromagnetischen Wellen festgelegt, also über c2   =   1 / (ε0 μ0)   . Zusammengefasst beginnt man hier mit den magnetischen Kräften und der Stromeinheit, wodurch die elektrischen Kräfte und die Ladungseinheit festgelegt sind.

Man hätte übrigens auch auf die Stromeinheit Ampere verzichten können und der magnetischen Feldkonstanten μ0 beispielsweise den Wert Eins zuordnen können. Die Stromeinheit wäre dann gemäß der Formel (siehe oben)   dF   =   I2 ds / (2πr)   einfach gleich   √N   , die Ladungseinheit wäre gleich   s √N   und die elektrische Feldkonstante wäre   ε0 = 1/c2   .

Eine andere Möglichkeit besteht darin, mit den elektrischen Kräften zu beginnen. So könnte man der elektrischen Feldkonstanten ε0 den Wert Eins zuordnen und so die Ladungseinheit festlegen. Die Ladung würden dann in der Einheit   m √N   gemessen, die Stromstärke in der Einheit   m √N / s   und die magnetische Feldkonstante wäre   μ0 = 1/c2   . Diese Maßeinheiten haben wir in Die Grenzen der Berechenbarkeit, Kapitel 5.4.4 verwendet, wobei dort das Magnetfeld noch einen Faktor c enthält (Heaviside-Maßeinheiten).


Die Kontinuitätsgleichung:

Elektrische Ladung kann weder erzeugt noch vernichtet werden. Für sie gilt daher die folgende Kontinuitätsgleichung:

  d/dt ∫V   ρ dV   =   − ∫δV   j dA

Dabei ist V ein Raumvolumen, δV ist die Oberfläche des Volumens, ρ ist die Ladungsdichte und j die Flächenstromdichte. Das Volumenintegral links ist also die im Volumen V enthaltene Gesamtladung, und das Flächenintegral rechts ist der elektrische Strom, der das Volumen V über seine Oberfläche verlässt. Die Gleichung sagt also, dass ein elektrischer Strom, der das Volumen V verlässt, zu einer zeitlichen Abnahme der Gesamtladung im Volumen V führt. Elektrische Ladung kann also immer nur über Ströme einen Raumbereich verlassen, aber nie einfach so spurlos verschwinden.

In differentieller Schweibweise lautet die Gleichung:

  dρ/dt   +   div j   =   0

Wenn also ein kleiner Raumbereich eine Quelle für die Stromdichte darstellt (Term   div j   ), so nimmt dort die elektrische Ladungsdichte   ρ   ab.

Schauen wir uns dazu noch einmal das Ampèresche Gesetz von oben an:   rot B   =   μ0 j   +   μ0 ε0 dE/dt  
Wie oben bereits erwähnt, kann man den zweiten Term rechts leicht übersehen und denkt nur daran, dass Ströme ein Magnetfeld erzeugen. Angenommen, es gäbe den zweiten Term nicht und wir hätten nur die Gleichung   rot B   =   μ0 j   . Wenn wir nun die Divergenz links und rechts bilden, so ist links   div (rot B) = 0   und wir erhalten   div j = 0   . Es gäbe dann keine Quellen für die Stromdichte, und nach der Kontinuitätsgleichung müsste   dρ/dt = 0   gelten. Die Ladungsdichte müsste zeitlich konstant bleiben -- das ist genau der statische Fall, bei dem sich Ladungsdichten, Ströme und Felder zeitlich nicht ändern. Im dynamischen Fall müssen wir jedoch den zweiten Term berücksichtigen, denn dann ergibt die Divergenz der Gleichung rechts den Zusatzterm
  μ0 ε0 div dE/dt   =   μ0 ε0 d/dt div E   =   μ0 ε0 d/dt ρ/ε0   =   μ0 d/dt ρ  
wobei wir die Maxwellgleichung   div E = ρ/ε0   verwendet haben. Wir erhalten damit die Kontinuitätsgleichung   dρ/dt   +   div j   =   0   als Folge der Maxwellgleichungen. Umgekehrt ist der zweite Term rechts im Ampèreschen Gesetz notwendig, um die Kontinuitätsgleichung sicherzustellen. Ein sich änderndes elektrisches Feld muss ein Magnetfeld erzeugen, damit die Ladungserhaltung gilt.


elektromagnetische Potentiale:

In der klassischen Physik sind elektrische und magnetische Felder die geeigneten Größen, um elektromagnetische Phänomene zu beschreiben, denn mit ihnen lässt sich die Kraft auf eine kleine Probeladung in Newtons Bewegungsgesetz direkt berechnen. In der Quantentheorie (siehe spätere Kapitel) wird die Beschreibung der Bewegung durch eine Bahnkurve durch eine Wellenbeschreibung ersetzt, so dass der Kraftbegriff seine Bedeutung verliert. An seine Stelle tritt eine Beschreibung, wie sich Frequenz und Wellenlänge im elektromagnetischen Feld verändern. Nun hängt die Frequenz mit der Teilchenenergie und die Wellenlänge mit dem Teilchenimpuls zusammen. Die elektrische Energie ist wiederum mit dem elektrischen Potential und der Impuls mit dem sogenannten Vektorpotential verknüpft. Daher beschreibt man elektromagnetische Phänomene in der Quantentheorie am Besten mithilfe der elektromagnetischen Potentiale an Stelle der Felder. Nur so kann man eine lokale Beschreibung beibehalten (Details dazu siehe Zusatzinfos zu Kapitel 5.3, speziell auch den Aharanov-Bohm-Effekt).


Vektorpotential:

Da es keine magnetischen Ladungen gibt (also   div B = 0   gilt), ist das Magnetfeld B ein reines Wirbelfeld ohne Quellen. Ein solches Wirbelfeld kann man immer als Wirbelstärke eines Vektorpotentials   A   schreiben:

  B   =   rot A


elektrisches Potential:

Wenn man in Faradays Induktionsgesetz   rot E   =   − dB/dt   das Magnetfeld als   B   =   rot A   schreibt und alle Terme nach links bringt, so erhält man

  rot (E + dA/dt)   =   0  

d.h. der Term   E + dA/dt   ist ein wirbelfreies Feld und lässt sich demnach als Gradient (Steigung) eines skalaren (elektrischen) Potentials   Φ   schreiben:

  E + dA/dt   =   − grad Φ  

(das Minuszeichen ist reine Konventionssache). Meist stellt man diese Gleichung noch nach E frei:

  E   =   − grad Φ − dA/dt  


Eichtransformation der Potentiale:

Die beiden Potentiale sind nicht eindeutig. So kann man zum Vektorpotential   A   ein beliebiges wirbelfreies Feld hinzuaddieren (oder subtrahieren), ohne die Wirbelstärke von   A   und damit das Magnetfeld   B   zu ändern. Ein solches wirbelfreies Zusatzfeld kann man immer als Gradient eines skalaren Feldes χ schreiben. Das Vektorpotential

  A'   :=   A   −   grad χ

ist also in Bezug auf das Magnetfeld gleichwertig zu A. So etwas nennt man eine Eichtransformation. Um durch die Eichtransformation auch das elektrische Feld nicht zu verändern, müssen wir das elektrische Potential ebenfalls transformieren, und zwar nach der Formel

  Φ'   :=   Φ   +   dχ/dt

mit demselben skalaren Feld χ, denn dann heben sich die beiden χ-Terme in der Formel   E   =   − grad Φ − dA/dt   gegenseitig auf. Eichtransformationen spielen eine zentrale Rolle bei der Formulierung des Standardmodells. Mehr dazu siehe Kapitel 5.3.



d) Der relativistische Ursprung des Magnetfeldes

Letztlich ist die Form der Maxwellgleichungen durch die spezielle Relativitätstheorie bestimmt (siehe Kapitel 3.2). Es kommt zu einem Wechselspiel von relativistischer Längenkontraktion, Zeitdilatation und der konsistenten Beschreibung einer physikalischen Situation durch unterschiedliche elektrische und magnetische Felder, je nach Bezugssystem. Feynman betrachtet dazu in seinen Feynman Vorlesungen über Physik, Band 2: Elektromagnetismus und Struktur der Materie in Kap. 13-6 folgendes Beispiel:

In einem ruhenden unendlich langen elektrisch neutralen Draht fließt ein elektrischer Strom, denn es bewegen sich einige Elektronen mit der Geschwindigkeit v nach rechts. Zugleich befindet sich außerhalb des Drahtes in gewissem Abstand ein einzelnes Elektron, das sich mit derselben Geschwindigkeit v ebenfalls nach rechts bewegt. Der elektrische Strom im ruhenden Draht erzeugt ein ringförmiges Magnetfeld um den Draht, so dass auf das bewegte Elektron außerhalb des Drahtes eine Lorentzkraft wirkt, die das Elektron in Richtung Draht zieht.

Wie sieht dieselbe Situation aus, wenn man sich mit den Elektronen im und außerhalb des Drahtes mitbewegt, so dass sowohl das einzelne Elektron außerhalb des Drahtes als auch die Elektronen im Draht ruhend erscheinen? Nach Einstein muss auch die Physik in diesem Bezugssystem von denselben Maxwellgleichungen beschrieben werden wie die Physik im Bezugssystem, in dem der Draht ruht. Da sich das Einzel-Elektron nun nicht mehr bewegt, nimmt es von einem Magnetfeld keine Notiz mehr, d.h. die Lorentzkraft ist Null. Dennoch sollte es in Richtung Draht gezogen werden, denn es handelt sich ja um dieselbe Situation wie vorher, nur aus einem anderen Bezugssystem heraus betrachtet. Was also zieht das Elektron nun zum Draht hin?

Es stellt sich heraus, dass der Draht in diesem neuen Bezugssystem nicht mehr elektrisch neutral ist, sondern positiv elektrisch geladen, d.h. im neuen Bezugssystem übernimmt ein elektrisches Feld die Funktion, die zuvor ein Magnetfeld ausgeübt hat. Der Grund für die elektrische Ladung des Drahtes im neuen Bezugssystem ist die relativistische Längenkontraktion: Der Abstand L zwischen zwei ruhenden Ladungen schrumpft im Bezugssystem, in dem sich die Ladungen mit der Geschwindigkeit v in Abstandsrichtung bewegen, auf den kleineren Abstand   L' = L / γ   mit   γ = 1 / √(1 − (v/c)2)   (c ist die Lichtgeschwindigkeit). Die Ladungswerte selber ändern sich dabei nicht. Daraus folgt, dass eine ruhende Ladungsdichte ρ (Ladung pro Volumen) auf den Wert   ρ' = γ ρ   anwächst, wenn man sie aus einem mit v bewegten Bezugsystem heraus betrachtet.

Die bewegte negative Ladungsdichte im ruhenden Draht nennen wir nun ρ' und die ruhenden positiven Gegenladungen ρ+. Im bewegten Bezugssystem ruht nun die negative Ladungsdichte (wir nennen sie entsprechend ρ), während die positive Gegenladungsdichte ρ+' sich bewegt. Dabei gilt   ρ+' = γ ρ+   und   ρ' = γ ρ   . Der ruhende Draht soll nun elektrisch neutral sein:   ρ+ + ρ' = 0   . Im bewegten Bezugssystem hat der Draht also die Ladungsdichte

  ρ+' + ρ   =   γ ρ+ + ρ' / γ   =   γ ρ+ − ρ+ / γ   =   ρ+ (γ − 1/γ)   =   ρ+ (v/c)2 / √(1 − (v/c)2)



Ein ruhender, stromführender, elektrisch neutraler Draht ist elektrisch geladen, wenn man ihn aus einem bewegten Bezugssystem heraus betrachtet. Ein einzelnes Elektron, das sich mit Geschwindigkeit v im Magnetfeld B um den ruhenden Draht herum bewegt, wird aufgrund der Lorentzkraft zum Draht hingezogen (linkes Bild). Im bewegten Bezugssystem ruht dieses Elektron jedoch. Dafür ist nun der sich bewegende Draht elektrisch geladen und zieht das Elektron an (rechtes Bild).


Anschaulich erscheint es zunächst merkwürdig, dass sich die bewegte Elektronen-Ladungsdichte anders verhält als der ruhende Draht mit seiner positiven Gegenladung, wenn man zum bewegten Bezugssystem übergeht. Die Elektronen müssten sich doch jeweils an derselben Stelle im Draht befinden, auch aus dem bewegten Bezugssystem heraus gesehen. Doch Vorsicht: die Elektronen bewegen sich gegenüber dem Draht. Man muss also in jedem Bezugssystem genau angeben, wann sie sich wo befinden. Und dieses WANN macht den Unterschied, denn beim Wechsel des Bezugssystems sind zuvor gleichzeitige Ereignisse nicht mehr gleichzeitig. Man betrachtet die Elektronen und die positiven Gegenladungen beim Bezugssystemwechsel nicht zu denselben Zeitpunkten wie vorher, wenn man dort jeweils ihre momentanen (also gleichzeitigen) Orte anschaut. Nur wenn man die Veränderungen in Raum und Zeit beide konsistent berücksichtigt, kann man die beschriebene Veränderung der Ladungsdichten verstehen. Details würden hier aber zu weit führen.

Man kann sich überlegen, dass die oben berechnete Ladungsdichte genau die richtige ist, um denselben physikalischen Effekt auf das einzelne Elektron hervorzurufen, den zuvor das Magnetfeld bewirkt hat (siehe Feynman). Das ist vielleicht überaschend, denn bei einer Geschwindigkeit von beispielsweise immerhin   3 km/s   ist   v/c = 10− 5   und somit ziemlich genau   (v/c)2 / √(1 − (v/c)2)   =   10− 10   . Die positive Gesamt-Ladungsdichte des bewegten Drahtes entspricht also nur einem Zehnmilliardstel der positiven Gegenladungsdichte im ruhenden Draht, die dort wiederum der Ladungsdichte der bewegten Elektronen entspricht. Dennoch reicht diese geringe Ladung aus, um das einzelne Elektron ausreichend anzuziehen. Daran merkt man erneut, wie stark die elektromagnetische Wechselwirkung ist, beispielsweise im Vergleich zur bedeutungslosen Gravitationskraft, die vom Draht ausgeht. Der relativistische Effekt der Längenkontraktion, der bei kleinen Geschwindigkeiten noch sehr gering ist, führt nur wegen der enormen Stärke der elektromagnetischen Wechselwirkung zu gut beobachtbaren Effekten. Kein Wunder also, dass es die elektromagnetische Wechselwirkung war, die den Weg zu Einsteins spezieller Relativitätstheorie gewiesen hat.

Man kann die obige Situation noch etwas abwandeln: Wir wollen die positive Gegenladung im Draht weglassen, also nur noch die negativen Elektronen betrachten. Im Bild rechts oben hätten wir es also mit einer ruhenden Kette von Elektronen mit Ladungsdichte ρ sowie einem einzelnen ruhenden Elektron neben der Kette zu tun. Da alle Ladungen ruhen, gibt es kein Magnetfeld. Im Bild links würden sich dagegen Elektronenkette sowie Einzelelektron mit Geschwindigkeit v bewegen. Die bewegte Elektronenkette bildet einen elektrischen Strom und erzeugt ein Magnetfeld, das das ebenfalls bewegte Elektron zur Elektronenkette hinzieht. Im Gegenzug ist die Ladungsdichte dieser Elektronenkette gemäß   ρ' = γ ρ   angewachsen. Das Magnetfeld gleicht diese verstärkte elektrische Abstoßungskraft aus. Wichtig ist: Es hängt hier vom Bezugssystem ab, ob wir ein Magnetfeld sehen oder nicht. Das Magnetfeld wird gebraucht, um den relativistischen Effekt der Lorentzkontraktion für die Ladungsdichte der Elektronenkette auszugleichen. Das Magnetfeld ist also eine Konsequenz der speziellen Relativitätstheorie.



e) relativistische Formulierung der Maxwellgleichungen

Betrachtet man die Maxwellgleichungen genauer, so stellt man fest, dass sie mit unseren normalen Vorstellungen von Raum und Zeit nicht zusammenpassen. Formal ausgedrückt: Die Maxwellgleichungen sind nicht invariant unter Galileitransformationen   x' := xv t   (so dass man anschaulich in ein neues Bezugssystem wechselt, dass sich mit der Geschwindigkeit v bewegt). Sie würden demnach nur in einem ausgezeichneten Ruhesystem gelten, nicht aber in dazu gleichförmig bewegten Bezugssystemen.

Ein Beispiel: Oben hatten wir gesehen, dass elektromagnetische Wellen eine Lösung der Maxwellgleichungen ohne Ladungen und Ströme sind, und dass sie sich immer mit der Geschwindigkeit   c = 1 / √(ε0 μ0)   bewegen. Wenn wir nun mit der Geschwindigkeit v einer solchen Welle hinterherlaufen, so muss sich diese Welle in diesem neuen bewegten Bezugssystem mit der geringeren Geschwindigkeit   c − v   bewegen -- zumindest nach den gängigen Vorstellungen, d.h. gemäß den Galileitransformationen. Eine solche Welle ist keine Lösung der obigen Maxwellgleichungen mehr, d.h. die Maxwellgleichungen müssten in dem bewegten Bezugssystem anders aussehen als in dem unbewegten Bezugssystem, um elektromagnetische Wellen mit der Geschwindigkeit   c − v   zu erlauben. Es müsste sogar möglich sein, statische elektromagnetische Wellen zu beobachten, wenn man mit der Geschwindigkeit c hinterherläuft.

Das Problem ist nun: Solche statischen elektromagnetischen Wellen sind nie beobachtet worden. Statt dessen findet man, dass die Maxwellgleichungen in jedem gleichförmig bewegten Bezugssystem (Inertialsystem) dieselbe Gestalt haben, mit denselben Feldkonstanten. Entsprechend haben elektromagnetische Wellen in jedem Inertialsystem dieselbe Geschwindigkeit, nämlich die Lichtgeschwindigkeit c.

Also müssen unsere Vorstellungen über Raum und Zeit revidiert werden. Die Galileitransformationen können den Wechsel zwischen gleichförmig bewegten Bezugssystemen nicht korrekt beschreiben, und wir müssen andere Raum-Zeit-Transformationen finden, die die Form der Maxwellgleichungen und damit die Geschwindigkeit c elektromagnetischer Wellen unverändert lassen. Außerdem müssen diese Transformationen für kleine relative Geschwindigkeiten (gegenüber c) der Bezugssysteme in die Galileitransformationen übergehen. Diese Transformationen nennt man Lorentztransformationen.

Mathematisch beschreibt man eine Lorentztransformation durch eine reelle 4-mal-4-Matrix Λ . Bei einem Wechsel des Inertialsystems fasst man dabei die Zeit t (multipliziert mit c) und die Raumkoordinaten   x = (x1, x2, x3)   eines Inertialsystems zu einem vierdimensionalen Vektor (Vierervektor)   x := (ct, x)   zusammen und berechnet die Koordinaten in einem neuen Inertialsystem nach der Formel   x' := Λ x   aus den alten Koordinaten. Die Koordinatenindizes haben wir dabei oben geschrieben, wobei wir ct als nullte Koordinate   x0 = ct   bezeichnen.

Betrachten wir ein Teilchen, dass sich mit Lichtgeschwindigkeit c in Richtung des Einheitsvektors e bewegt, so dass sein Aufenthaltsort gleich   x = ct e   ist. Also ist für dieses Teilchen   x = (ct, ct e)   und es gilt
  g(x,x)   :=   (x0)2x2   =   (ct)2 − (ct)2 e2   =   (ct)2 − (ct)2   =   0
Für eine Lorentztransformation Λ fordern wir nun, dass sie die Minkowskimetrik   g(x,y)   :=   x0 y0x y   zweier Vierervektoren x und y nicht ändert:   g(Λx,Λy) = g(x,y)   . Denn dann gilt für unser Lichtteilchen bei einem Wechsel des Inertialsystems   x' = Λ x   die Gleichung
  (ct')2x'2   =   g(x',x')   =   g(x,x)   =   0  
also   (ct')2 = x'2   und somit   |x'| = ct'   , d.h. auch in neuen Koordinaten ist wieder die Bewegung des Lichtteilchens durch   x = ct' e'   gegeben -- das Teilchen fliegt also wieder mit Lichtgeschwindigkeit, wenn auch vermutlich in eine andere Richtung e'. Außerdem muss die Zeit t' im neuen Inertialsystem nicht dieselbe sein wie die Zeit t im alten Inertialsystem.

Weitere Details dazu sind in den Zusatzinfos zu Kapitel 3.2 (spezielle Relativitätstheorie) beschrieben. Hier noch eine nützliche Schreibweise, die dort beschrieben ist und die wir im Folgenden verwenden werden:

Wir bezeichnen Indices 0 bis 3 mit griechischen Buchstaben, Indices 1 bis 3 mit lateinischen Buchstaben:   x = (xμ) = (ct, x)   mit   x = (xi)   und summieren in allen Formeln über doppelte Indics (Einsteinsche Summenkonvention), z.B.   x y = xi yi   . Wir definieren die metrische 4-mal-4-Diagonalmatrix als
  (gμν) := diag (1, −1, −1, −1)  
und verwenden diese, um Indices hoch- und runterzuziehen (mit Summenkonvention):
  xμ   :=   gμν xν   , so dass   x0 = x0   und   xi = − xi   ist.
Damit ist
  g(x,y)   =   xμ yν gμν   =   xμ yμ   =   xμ yμ   =   x0 y0x y
Die Matrixelemente von Λ schreiben wir als   Λμν   , so dass   (Λ x)μ   =   Λμν xν   ist. Die Bedingung   g(Λx,Λy) = g(x,y)   wird dann zur Bedingung
  gμν Λμρ Λνσ   =   gρσ .

Wir können nun die Maxwellgleichungen in diese Schreibweise übersetzen. Dazu fassen wir das elektrische und das magnetische Feld zu einer 4-mal-4-Matrix (dem Feldstärketensor)   F   =   (Fμν)   zusammen:


(Fμν)   =   æ
ç
è
0
E/c
E/c
  B
ö
÷
ø

Dabei ist   E   der dreikomponentige elektrische Feldvektor und   B = (Bij)   ist eine 3-mal-3-komponentige schiefsymmetrische Matrix, die die Komponenten des magnetischen Feldes   B = (Bk)   enthält, so dass   B12 = − B3   ist (usw. zyklisch, siehe auch Wikipedia: Maxwell-Gleichungen Abschnitt: Kovariante Formulierung der Maxwellgleichungen ). Die Bewegungsgleichung für ein elektrisch geladenes Teilchen lautet dann

  dpμ/dτ   =   Q Fμν uν  

mit der Eigenzeit τ (das ist die Zeit auf einer Uhr, die mit dem Teilchen mitfliegt, wobei   dτ = dt / γ   gilt), der Vierergeschwindigkeit   u   =   (uμ)   =   dx/dτ   =   (γc, γv)   mit dem Lorentzfaktor   γ = √[1 / (1 − (v/c)2)]   und dem Viererimpuls   p   =   m u   =   (E/c, p)   mit der relativistischen Energie E (nicht zu verwechseln mit dem elektrischen Feld E). Details dazu siehe Zusatzinfos zu Kapitel 3.2.

Überprüfen wir, ob das tatsächlich die bekannte Bewegungsgleichung ergibt, wobei wir auf den Vorzeichenwechsel beim Hochziehen des Indexes von uν für die räumlichen Komponenten achten müssen:

μ = 0 ergibt:
  γ d(E/c)/dt   =   Q (− E/c) (− u)   =   Q γ E v / c     und somit     dE/dt   =   Q E v

μ = 1, 2, 3 ergibt:
  γ dp/dt   =   Q E/c γc   +   Q γ v × B     und somit       dp/dt   =   Q E   +   Q v × B

Die untere Gleichung repräsentiert die bekannte Kraft auf ein elektrisch geladenes Teilchen, und die obere Gleichung ist die zur Impulsänderung zugehörige Energieänderung, denn   Q E v   =   Fel dx/dt   =   dE/dt   (nur die elektrische Kraft   Fel = Q E v   ändert die Energie, nicht aber die magnetische Kraft, da diese immer senkrecht zur Bewegungsrichtung wirkt).

Die Gleichung   dpμ/dτ   =   Q Fμν uν   ist also lediglich eine andere Schreibweise für die bisher bereits bekannte Gleichung   dp/dt   =   Q E   +   Q v × B   und die zugehörige Energieänderung. Die neue Schreibweise hat aber den Vorteil, dass sie mit Größen formuliert ist, die alle ein sehr einfaches Transformationsverhalten bei Lorentztransformationen   x' := Λ x   aufweisen, denn es gilt:

  u'   =   Λ u
  p'   =   Λ p
  F'(x')   =   (Λ × Λ) F(x)

wobei die letzte Gleichung für   (F')μν(x')   =   Λμρ Λνσ Fρσ(x)   steht (mit Summenkonvention) und damit das Transformationsverhalten von E und B übersichtlich zusammenfasst. Für die Vierergeschwindigkeit   u   folgt dieses Transformationsgesetz unmittelbar aus der Definition   u = dx/dτ   , wobei τ ein lorentzinvarianter Kurvenparameter ist (denn u ist lorentzinvariant normiert:   g(u,u) = c2   , siehe siehe Zusatzinfos zu Kapitel 3.2 ). Für den Viererimpuls   p   folgt das Transformationsgesetz aus der Definition   p = m u   , wobei m die lorentzinvariante Ruhemasse ist. Für den Feldstärketensor   F   =   (Fμν)   folgt das Transformationsgesetz aus den Maxwellgleichungen und der Forderung, dass sich die Lichtgeschwindigkeit bei Lorentztransformationen nicht ändern soll (mehr dazu gleich). Und für die elektrische Ladung Q müssen wir die Invarianz bei Lorentztranformationen hier als Zusatzinfo hineinstecken. Das ist ein experimentelles Ergebnis: Nur so sind elektromagnetische Kraft und Maxwellgleichungen lorentzinvariant, gelten also in allen Inertialsystemen, wie es das Experiment zeigt. Mehr dazu weiter unten.

In der neuen Schreibweise ist unmittelbar erkennbar, dass die Gleichung ihre Form bei Lorentztransformationen nicht ändert, denn gilt die Gleichung für die ungestrichenen Größen, so gilt sie auch für die transformierten (gestrichenen) Größen. Das sieht man in der alten Schweibweise mit E und B nicht sofort, sondern man muss es mühevoll nachrechnen. Dabei ist in der neuen Schreibweise wichtig, dass der Index ν einmal oben und einmal unten steht, so dass er sich genauso verhält wie in   g(x,y)   =   xν yν   , wobei   g(Λx,Λy) = g(x,y)   gilt (d.h. die Lorentzmatrix fällt beim ν -Index weg).

Nun müssen wir nur noch die Maxwellgleichungen in die neue Schweibweise umformen. Dazu fassen wir Ladungsdichte ρ und Stromdichte j zur Viererstromdichte

  j   :=   (jμ)   =   (cρ, j)

zusammen. Die Kontinuitätsgleichung   dρ/dt   +   div j   =   0   lautet dann

  δμ jμ(x)   =   0

Dabei ist   δμ   :=   d/dxμ   , also   δ0   :=   1/c d/dt   und   δk   :=   d/dxk   (k = 1, 2, 3). Nun haben wir oben gesehen, dass die Kontinuitätsgleichung eine Folge der Maxwellgleichungen ist. Wenn nun die Maxwellgleichungen in jedem Inertialsystem gelten sollen, so muss dies auch für die Kontinuitätsgleichung gelten. Daraus können wir ablesen, dass sich die Viererstromdichte bei Bezugssystemwechsel wie ein Vierervektorfeld transformieren muss:

  j'(x')   =   Λ j(x)     mit   x' = Λ x     , oder gleichwertig dazu   j'(x)   =   Λ j(Λ−1x)

Man kann nun mithilfe dieses Transformationsgesetzes leicht nachrechnen: Wenn   j(x)   die Kontinuitätsgleichung erfüllt, so gilt das auch für   j'(x)   .

Da die Kontinuitätsgleichung in jedem Inertialsystem gilt, ändert sich die elektrische Ladung eines Teilchens bei Bezugssystemwechsel nicht, wie wir es oben bereits verwendet haben. Die Ladungsdichte kann sich dagegen durchaus ändern, insbesondere aufgrund der Lorentzkontraktion -- dies hatten wir oben in Abschnitt d) bereits verwendet. Auch die Stromdichte wird sich ändern. Beide zusammen werden durch einen Vierervektor beschrieben, dessen Transformationseigenschaften die Lorentzkontraktion und Zeitdilatation geeignet kompensieren, so dass die elektrische Ladung selbst sich nicht ändert.

Im Detail sieht das so aus: Angenommen, wir hätten eine kleine kompakte Ladungsdichte vor uns, z.B. eine geladene Kugelwolke. Die Viererstromdichte   j   transformiert sich beim Bezugssystemwechsel nun genauso wie die Vierergeschwindigkeit   u   dieser Ladungsdichte, so dass wir   j = ρ0 u   schreiben können. Dabei ist ρ0 die Ladungsdichte im Ruhesystem, denn dort ist   j   =   ρ0 u   =   ρ0 (c, 0)   =   (cρ0, 0)   . Betrachtet man nun die Ladungswolke aus einem bewegten Bezugssystem heraus, so dass sie sich mit der Geschwindigkeit v bewegen, so ist die Vierergeschwindigkeit des Teilchens dort gleich   u   =   (γc, γv)   und die Stromdichte wird gleich   j   =   (cρ, j)   =   ρ0 u   =   (γρ0c, γρ0v)   . Die Ladungsdichte ρ der bewegten Ladungswolke ist also gleich   ρ   =   γ ρ0   , d.h. die ruhende Ladungsdichte wird mit dem Faktor γ multipliziert. Genau dies kennen wir bereits aus Abschnitt d) (siehe oben). Die Stromdichte ist dabei gegeben durch   j   =   ρ v   =   γ ρ0 v   .

Zum Vergleich: Wie wird die relativistische Beschreibung der Gravitationsquellen in der allgemeinen Relativitätstheorie aussehen? Coulomb-Gesetz und Newtons Gravitationsgesetz sehen ja praktisch gleich aus. Aber: elektrische Ladungen sind auch in der Relativitätstheorie ehalten, Massen dagegen nicht! Daher ist in der allgemeinen Relativitätstheorie nicht die Masse, sondern die relativistische Gesamtenergie eine Quelle der Gravitation (siehe Zusatzinfos zu Kapitel 7.1 ). Anders als die elektrische Ladung ändert sich die Energie aber beim Wechsel des Bezugssystems, denn sie ist die Null-Komponente des Viererimpulsvektors. Geht man nun vom Viererimpuls zu einer Viererimpulsdichte über (so wie man von Ladungen zur el. Stromdichte übergeht), so braucht man zur deren relativistischer Beschreibung ein Objekt mit zwei Indices: Ein Index hat seinen Ursprung im Viererimpuls, und der zweite Index kommt daher, dass wir zu Viererimpuls-Stromdichten übergehen (analog entsteht ein Index, wenn wir von der elektrischen Ladung zur elektrischen Viererstromdichte übergehen). Statt von Viererimpuls-Stromdichte spricht man auch vom Energie-Impuls-Tensor.

Mithilfe des Feldstärketensors und der Viererstromdichte kann man nun die beiden Maxwellgleichungen   div E   =   ρ/ε0   und   rot B   =   μ0 j   +   1/c2 dE/dt   folgendermaßen zusammenfassen (wobei wir   μ0 ε0 = 1/c2   verwenden):

  δμ Fμν   =   μ0 jν

Kurze Kontrollrechnung:

ν = 0 ergibt:
  div E/c   =   μ0 c ρ     und somit     div E   =   μ0 c2 ρ   =   ρ/ε0

ν = 1, 2, 3 ergibt:
  1/c d/dt (− E/c)   +   rot B   =   μ0 j     und somit     rot B   =   μ0 j   +   1/c2 dE/dt

Passt also! Die relativistische Schreibweise der Maxwellgleichungen erlaubt es zudem, direkt die Kontinuitätsgleichung abzuleiten, indem wir δν auf sie anwenden (und über ν summieren):   δν δμ Fμν   =   μ0 δν jν   . Wenn wir links in der Summe die Indices μ und ν ineinander umbenennen und die Antisymmetrie von Fμν verwenden, so sehen wir, dass der Term links gleich Null sein muss, so dass auch   δν jν = 0   gilt.

Wie sieht es mit den beiden anderen Maxwellgleichungen   div B   =   0   und   rot E   =   − dB/dt   aus? Diese beiden Gleichung schreiben wir dazu etwas um, so dass sie den anderen beiden Gleichungen möglichst ähnlich werden:
  div (c B)   =   0
  rot (− E/c)   =   1/c2 d(cB)/dt
Damit ist klar: Wir erhalten diese beiden Gleichungen, wenn wir in den beiden anderen Gleichungen oben Ladungs- und Stromdichte Null setzen sowie darin   B   durch   − E/c   und   E   durch   cB   ersetzen. Diese Ersetzung müssen wir also auch im Feldstärketensor vornehmen -- den so entstehenden neuen dualen Feldstärketensor nennen wir   *F   .


(*Fμν)   =   æ
ç
è
0
B
B
  − E/c
ö
÷
ø

wobei unten rechts wieder die entsprechende schiefsymmetrische Matrix   E   steht (siehe auch Wikipedia: Maxwell-Gleichungen Abschnitt: Kovariante Formulierung der Maxwellgleichungen ). Die beiden Maxwellgleichungen   div B   =   0   und   rot E   =   − dB/dt   lauten dann also:

  δμ *Fμν   =   0

Die Gleichung ermöglicht es, die Felder E und B als Ableitungen des elektrischen Potentials Φ und des Vektorpotentials A zu schreiben (siehe oben):
  B   =   rot A
  E   =   − grad Φ − dA/dt
Auch hierfür können wir eine relativistische Schreibweise angeben, indem wir das Viererpotential

  A   :=   (Aμ)   =   (Φ/c, A)

einführen, denn dann kann man diese beiden Gleichungen zusammenfassen zu:

  Fμν   =   δμ Aν − δν Aμ

mit   δ0 = δ0 = 1/c d/dt   und   δk = − δk = − d/dxk   (k = 1, 2, 3). So ist beispielsweise
  F0k   =   − Ek/c   =   δ0 Ak − δk A0   =   1/c d/dt Ak + d/dxk Φ/c
was wie gewünscht die Gleichung   E   =   − grad Φ − dA/dt   ergibt.

Wenn man nun in den Maxwellgleichungen   δμ Fμν   =   μ0 jν   den Feldstärketensor über   Fμν   =   δμ Aν − δν Aμ   durch das Viererpotential ausdrückt, so ergibt sich folgende Gleichung für das Viererpotential:

  δμμ Aν − δν Aμ)   =   μ0 jν  

Im zweiten Term links kann man nun die Ableitungen vertauschen (das Potential ist dafür gutartig genug):

  δμ δμ Aν   −   δν δμ Aμ   =   μ0 jν  

Nun ist das Viererpotential nicht eindeutig bestimmt, denn das Viererpotential

  A' μ   :=   Aμ   +   δμ χ

ergibt denselben Feldstärketensor wie Aμ, da der χ-Term wegen der Vertauschbarkeit der Ableitungen wegfällt:   δμ δν χ − δν δμ χ = 0   . Das ist genau die Eichtransformation der Potentiale, die wir oben bereits kennengelernt haben, nur jetzt in relativistischer Schreibweise. Damit ist es uns möglich, jedes Viererpotential so umzueichen, dass es die Bedingung   δμ Aμ = 0   erfüllt (Lorentzeichung). In der Lorentzeichung lauten die Maxwellgleichungen dann (ausgedrückt durch das Viererpotential):

  δμ δμ Aν   =   μ0 jν  

Dabei steht links der bekannte Wellenoperator   δμ δμ   =   1/c2 (d/dt)2   −   (d/dx)2   . Im leeren Raum ohne Ladungen und Ströme (also   jν = 0   ) ergibt sich damit für jede Komponente des Viererpotentials die Wellengleichung   δμ δμ Aν   =   0   . Wir sehen hier also unmittelbar, dass die Maxwellgleichungen im ladungsfreien Fall ebene Wellen als Lösungen haben, und zwar zunächst für die Potentiale und damit auch für die daraus abgeleiteten elektromagnetischen Felder. Diese Wellen bewegen sich in jedem gleichförmig bewegten Bezugssystem mit Lichtgeschwindigkeit.



Literatur:


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last modified on 30 October 2010